New PDF release: Anschauliche Geometrie

By David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen

ISBN-10: 3540590692

ISBN-13: 9783540590699

ISBN-10: 364219947X

ISBN-13: 9783642199479

Anschauliche Geometrie: wohl selten ist ein Mathematikbuch seinem Titel so gerecht geworden, wie dieses außergewöhnliche Werk von Hilbert und Cohn-Vossen. Zuerst 1932 erschienen, hat das Buch nichts von seiner Frische und Kraft verloren. Hilbert hat sein erklärtes Ziel, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, bei Generationen von Mathematikern erreicht.
AUS HILBERTS VORWORT: "Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen".

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Für die Ellipse k ist also v < 1, für die Hyperbel h dagegen v > 1. Nun beweist unsere Betrachtung zunächst nur die Existenz der Leitlinie für bestimmte Ellipsen und Hyperbeln, während in der Behauptung umgekehrt die Zahl v, der Punkt F und die Gerade g vorgegeben sind und die zugehörige Kurve gesucht wird. Aber offenbar hängt die Gestalt der gesuchten Kurve nur von dem Wert der Zahl v ab, und andererseits können wir unsere Konstruktion so einrichten, daß die Winkel IX und ß, also auch die Zahl v, beliebige Werte annehmen.

1z was man in gleicher Weise wie beim quadraJ-I_ _~ tischen Gitter beweist. Für jedes solches Einheitsgitter ist der kleinste Abstand e zweier Gitterpunkte eine charakteristische Größe. 41. z. B. solche, die von einem Rechteck mit den Seiten e und 1Je erzeugt werden. Dagegen kann e offenbar nicht beliebig groß werden, weil das Gitter sonst kein Einheitsgitter sein könnte. Also hat e eine obere Grenze. Wir wollen sie bestimmen. 41). Legt man durch die beiden Punkte eine Gerade g, so müssen auf ihr nach Definition des Gitters immer weitere Gitterpunkte im Abstand e liegen; die zu g im Abstand 1Je gezogene Parallele h muß ebenfalls unendlich viele Gitterpunkte enthalten, dagegen muß der Streifen zwischen den Parallelen von Gitterpunkten frei sein, was beides daraus folgt, daß das Gitter ein Einheitsgitter sein 0011.

7. 10) BF1=BP1, BF 2 =BP2 , BF1 - BF 2 = BP1 - BP2 = P 1 P 2 = const. Wir haben also gefunden, daß jeder Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die nicht durch die Spitze des Kegels geht, entweder eine Ellipse oder eine Parabel oder eine Hyperbel ist!. Diese Kurven haben demnach eine innere Verwandtschaft und werden deshalb unter dem Namen Kegelschnitte zusammengefaßt 2. Zu den drei erwähnten "eigentlichen" Kegelschnitten sind als "uneigentliche" noch deren Grenzfälle hinzuzunehmen, die man erhält, wenn man die Schnittebene durch die Kegelspitze legt oder den Kegel zum Zylinder ausarten läßt.

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Anschauliche Geometrie by David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen


by Steven
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